0 写在前面

机器学习强基计划聚焦深度和广度，加深对机器学习模型的理解与应用。“深”在详细推导算法模型背后的数学原理；“广”在分析多个机器学习模型：决策树、支持向量机、贝叶斯与马尔科夫决策、强化学习等。强基计划实现从理论到实践的全面覆盖，由本人亲自从底层编写、测试与文章配套的各个经典算法，不依赖于现有库，可以大大加深对算法的理解。

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1 层次聚类

层次聚类(hierarchical clustering)的核心原理是在不同距离层次对数据集进行划分，从而形成树形的聚类结构。划分方式通常分为自底向上和自顶向下两种。

AGNES算法是一种采用自底向上聚合策略的层次聚类算法，其核心原理是先将数据集中每个样本看作一个初始聚类簇，然后在算法运行的每一步中找出距离最近的两个簇进行合并，该过程不断重复直至达到预设的聚类簇个数。

2 簇间距离度量

如何度量AGNES算法原理中的“距离最近”？有如下方式

• 最小距离
  $${\mathrm{d}}_{\min }\left(C_i,C_j\right)=\underset{\mathbf{x}\in C_i,\mathbf{z}\in C_j}{\min }\mathrm{dist}\left(\mathbf{x},\mathbf{z}\right)$$
• 最大距离
  $${\mathrm{d}}_{\max }\left(C_i,C_j\right)=\underset{\mathbf{x}\in C_i,\mathbf{z}\in C_j}{\max }\mathrm{dist}\left(\mathbf{x},\mathbf{z}\right)$$
• 平均距离
  $${\mathrm{d}}_{\mathrm{avg}}\left(C_i,C_j\right)=\frac{1}{\left|C_i\right|\left|C_j\right|}\sum _{\mathbf{x}\in C_i}\sum _{\mathbf{z}\in C_j}\mathrm{dist}\left(\mathbf{x},\mathbf{z}\right)$$
• 豪斯多夫距离
  d i s t H ( X , Z ) = max ⁡ { d i s t h ( X , Z ) , d i s t h ( Z , X ) } \mathrm{dist}_{\mathrm{H}}\left( X,Z \right) =\max \left\{ \mathrm{dist}_{\mathrm{h}}\left( X,Z \right) ,\mathrm{dist}_{\mathrm{h}}\left( Z,X \right) \right\} distH​(X,Z)=max{disth​(X,Z),disth​(Z,X)}

当簇间距离采用${\mathrm{d}}_{\min }$、${\mathrm{d}}_{\max }$、${\mathrm{d}}_{\mathrm{avg}}$计算时，AGNES算法被相应地称为单链接(single-linkage)、全链接(complete-linkage)与均链接(average-linkage)算法。

3 AGNES算法

算法主要分两步：初始化和迭代更新

• 初始化
  
• 迭代更新
  

4 Python实现

本节是第三节算法原理的复现，建议对比学习

4.1 初始化

python"># 初始化簇
kCluster = {i: [self.dataSet[i]] for i in range(self.m)}
# 初始化距离矩阵
M = np.zeros([self.m, self.m], dtype=float)
for i in range(self.m):
    for j in range(i + 1, self.m):
        M[i][j] = self.pFunc(kCluster[i], kCluster[j])
        M[j][i] = M[i][j]
# 设置当前聚类簇数
q = self.m

4.2 合并最近的两个簇

python"># 找出距离最近的两个聚类簇
minDist, inew, jnew = 99999999, 0, 0
for i in range(q):
    for j in range(i + 1, q):
        if M[i][j] < minDist:
            minDist, inew, jnew = M[i][j], i, j
# 合并这两个簇
kCluster[inew].extend(kCluster[jnew])

4.3 更新距离矩阵

python"># 删除距离矩阵被合并的jnew行、jnew列
M = np.delete(M, [jnew], axis=0)
M = np.delete(M, [jnew], axis=1)
# 更新距离矩阵
for j in range(q - 1):
    M[inew][j] = self.pFunc(kCluster[inew], kCluster[j])
    M[j][inew] = M[inew][j]
# 更新簇数
q = q - 1

4.4 可视化

python">def plotGraph(self) -> None:
    kCluster = self.run()
    for i in kCluster:
        x = np.array(kCluster[i])[:,0]
        y = np.array(kCluster[i])[:,1]
        plt.scatter(x,y)
    plt.title("AGNES")
    plt.show()

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