前言介绍：

1、PCA降维：

（1）概念解释：

（2）实现步骤：

（3）优劣相关：

2、DBSCAN聚类：

（1）概念解释：

（2）算法原理：

（3）优劣相关：

代码实现：

0、数据准备：

1、PCA降维：

2、DBSCAN聚类：

3、代码汇总：

实现效果：

1、降维效果：

2、聚类效果：

写在最后：

前言介绍：

1、PCA降维：

（1）概念解释：

PCA，全称Principal Component Analysis，即主成分分析。是一种降维方法，实现途径是提取特征的主要成分，从而在保留主要特征的情况下，将高维数据压缩到低维空间。

在经过PCA处理后得到的低维数据，其实是原本的高维特征数据在某一低维平面上的投影（只要维度较低，都可以视为平面，例如三维相对于四维空间也可以视为一个平面）。虽然降维的数据能够反映原本高维数据的大部分信息，但并不能反映原本高维空间的全部信息，因此要根据实际情况，加以鉴别使用。

（2）实现步骤：

PCA主要通过6个步骤加以实现：

1、标准化（将原始数据进行标准化，一般是去均值，如果特征在不同量级上，还要将矩阵除以标准差）

具体：

其中，E为原始矩阵，Emean为均值矩阵，Enorm为标准化矩阵。

2、协方差（计算标准化数据集的协方差矩阵）

具体：

其中，Cov为协方差矩阵，m为样本的数量，Enorm为均值矩阵。

3、特征值（计算协方差矩阵的特征值和特征向量）

具体：

假设实数λ、n行（原始矩阵E的列数即为n）1列的矩阵X（即n维向量）满足下式：

则λ为Cov的特征值，其中Cov为协方差矩阵。

4、K 特征（保留特征值最大的前K个特征（K是降维后，我们期望达到的维度））

具体：

若有多个特征值，则保留前K个最大的特征值，以满足之后的计算需求。

5、K 向量（找到这K个特征值对应的特征向量）

具体：

通过步骤3中的公式得到每个特征值对应的特征向量。

6、得降维（将标准化数据集乘以该K个特征向量，得到降维后的结果）

具体：

其中，Epca为最后要求得的PCA降维矩阵，Enorm为标准化矩阵，X1、X2、X3、...、Xk为对K个特征值对应的特征向量。

（3）优劣相关：

        优点：

        1.PCA降维之后的各个主成分之间相互正交，可消除原始数据之间相互影响的因素。

        2.PCA降维的计算过程并不复杂，因实现起来较简单容易。

        3.在保留大部分主要信息的前提下，起到了降维，简便化计算效果。

        缺点：

        1.特征主成分的定义具有模糊性，解释性差。

        2.PCA降维选取令原数据在新坐标轴上方差最大的主成分的标准，使得一些方差小的特征较易丢失，有损失重要信息的可能性。

2、DBSCAN聚类：

（1）概念解释：

密度聚类亦称“基于密度的聚类”（Density-Based Clustering）,此类算法假设聚类结构能通过样本分布的紧密程度确定。通常情形下，密度聚类算法从样本密度的角度来考察样本之间的可连续性，并基于可连接样本不断扩展聚类簇以获得最终的聚类结果。

DBSCAN（Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）就是这样一种聚类算法，该算法基于一组“领域”（neighborhood）参数（ε,MinPts）来刻画样本分布的紧密程度。

（2）算法原理：

给定数据集D={x1,x2,...,xm}，定义下面这几个概念：

理解了相关概念之后，下面给出算法实现的伪代码：

（3）优劣相关：

优点：

1、能够识别任意形状的样本。

2、该算法将具有足够密度的区域划分为簇，并在具有噪声的空间数据库中发现任意形状的簇。

3、无需指定簇个数，而是由算法自主发现。

缺点：

1、需要指定最少点个数（MinPts）与半径（ε）。（但其实相对其他聚类算法来说，已经具有较大的自由性。）

2、最少点个数与半径对算法的影响较大，一般需多次调试。

代码实现：

0、数据准备：

在这里，我们使用sklearn库的鸢尾花iris数据集（sklearn.datasets.load_iris）作为测试数据样本。iris数据集包含150个样本，每个样本包含四个属性特征（花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度）和一个类别标签（分别用0、1、2表示山鸢尾、变色鸢尾和维吉尼亚鸢尾）。

首先，我们要安装sklearn库。安装此库，还是通过pip install命令，但是并不是pip install sklearn，而是pip install scikit-learn。正如我们调用opencv是import cv2，而安装却是通过pip install opencv一样。

python">pip install scikit-learn

然后，获取数据集，其中x为鸢尾花的特征数据集（数据类型为数组numpy.adarray），y为鸢尾花的标签数据集（数据类型为数组numpy.adarray）。

python">from sklearn.datasets import load_iris
x = load_iris().data
y = load_iris().target

1、PCA降维：

python">import numpy as np

def PCA_DimRed(dataMat,topNfeat): #PCA_DimRed--PCA dimension reduction,PCA降维
    meanVals = np.mean(dataMat, axis=0)
    meanRemoved = dataMat - meanVals  # 标准化（去均值）
    covMat = np.cov(meanRemoved, rowvar=False)
    eigVals, eigVets = np.linalg.eig(np.mat(covMat))  # 计算矩阵的特征值和特征向量
    eigValInd = np.argsort(eigVals)  # 将特征值从小到大排序，返回的是特征值对应的数组里的下标
    eigValInd = eigValInd[:-(topNfeat + 1):-1]  # 保留最大的前K个特征值
    redEigVects = eigVets[:, eigValInd]  # 对应的特征向量
    lowDDatMat = meanRemoved * redEigVects  # 将数据转换到低维新空间
    # reconMat = (lowDDatMat * redEigVects.T) + meanVals  # 还原原始数据
    return lowDDatMat

2、DBSCAN聚类：

python">import numpy as np
import random
import copy

def DBSCAN_cluster(mat,eps,min_Pts): #进行DBSCAN聚类，优点在于不用指定簇数量，而且适用于多种形状类型的簇
    k = -1
    neighbor_list = []  # 用来保存每个数据的邻域
    omega_list = []  # 核心对象集合
    gama = set([x for x in range(len(mat))])  # 初始时将所有点标记为未访问
    cluster = [-1 for _ in range(len(mat))]  # 聚类
    for i in range(len(mat)):
        neighbor_list.append(find_neighbor(mat, i, eps))
        if len(neighbor_list[-1]) >= min_Pts:
            omega_list.append(i)  # 将样本加入核心对象集合
    omega_list = set(omega_list)  # 转化为集合便于操作
    while len(omega_list) > 0:
        gama_old = copy.deepcopy(gama)
        j = random.choice(list(omega_list))  # 随机选取一个核心对象
        k = k + 1
        Q = list()
        Q.append(j)
        gama.remove(j)
        while len(Q) > 0:
            q = Q[0]
            Q.remove(q)
            if len(neighbor_list[q]) >= min_Pts:
                delta = neighbor_list[q] & gama
                deltalist = list(delta)
                for i in range(len(delta)):
                    Q.append(deltalist[i])
                    gama = gama - delta
        Ck = gama_old - gama
        Cklist = list(Ck)
        for i in range(len(Ck)):
            cluster[Cklist[i]] = k
        omega_list = omega_list - Ck
    return cluster

3、代码汇总：

python">from sklearn.datasets import load_iris
import numpy as np
import random
import copy
import matplotlib.pyplot as plt

def PCA_DimRed(dataMat,topNfeat): #PCA_DimRed--PCA dimension reduction,PCA降维
    meanVals = np.mean(dataMat, axis=0)
    meanRemoved = dataMat - meanVals  # 标准化（去均值）
    covMat = np.cov(meanRemoved, rowvar=False)
    eigVals, eigVets = np.linalg.eig(np.mat(covMat))  # 计算矩阵的特征值和特征向量
    eigValInd = np.argsort(eigVals)  # 将特征值从小到大排序，返回的是特征值对应的数组里的下标
    eigValInd = eigValInd[:-(topNfeat + 1):-1]  # 保留最大的前K个特征值
    redEigVects = eigVets[:, eigValInd]  # 对应的特征向量
    lowDDatMat = meanRemoved * redEigVects  # 将数据转换到低维新空间
    # reconMat = (lowDDatMat * redEigVects.T) + meanVals  # 还原原始数据
    return lowDDatMat

def find_neighbor(data,pos,eps): #寻找相邻点函数
    N = list()
    temp = np.sum((data-data[pos])**2, axis=1)**0.5
    N = np.argwhere(temp <= eps).flatten().tolist()
    return set(N)

def DBSCAN_cluster(data,eps,min_Pts): #进行DBSCAN聚类，优点在于不用指定簇数量，而且适用于多种形状类型的簇，如果使用K均值聚类的话，对于这次实验的数据（条状簇）无法得到较好的分类结果
    k = -1
    neighbor_list = []  # 用来保存每个数据的邻域
    omega_list = []  # 核心对象集合
    gama = set([x for x in range(len(data))])  # 初始时将所有点标记为未访问
    cluster = [-1 for _ in range(len(data))]  # 聚类
    for i in range(len(data)):
        neighbor_list.append(find_neighbor(data, i, eps))
        if len(neighbor_list[-1]) >= min_Pts:
            omega_list.append(i)  # 将样本加入核心对象集合
    omega_list = set(omega_list)  # 转化为集合便于操作
    while len(omega_list) > 0:
        gama_old = copy.deepcopy(gama)
        j = random.choice(list(omega_list))  # 随机选取一个核心对象
        k = k + 1
        Q = list()
        Q.append(j)
        gama.remove(j)
        while len(Q) > 0:
            q = Q[0]
            Q.remove(q)
            if len(neighbor_list[q]) >= min_Pts:
                delta = neighbor_list[q] & gama
                deltalist = list(delta)
                for i in range(len(delta)):
                    Q.append(deltalist[i])
                    gama = gama - delta
        Ck = gama_old - gama
        Cklist = list(Ck)
        for i in range(len(Ck)):
            cluster[Cklist[i]] = k
        omega_list = omega_list - Ck
    return cluster

if __name__ == "__main__":
    #1、准备数据
    x = load_iris().data
    y = load_iris().target

    #2、PCA降维
    pro_data = PCA_DimRed(x,2)

    #3、DBSCAN聚类（此步中要保证数据集类型为数组，以配合find_neighbor函数）
    pro_array = np.array(pro_data)
    thecluster = DBSCAN_cluster(pro_array,eps=0.8,min_Pts=30)

    #4、展示降维效果：
    print("下面是降维之前的鸢尾花数据集特征集：")
    print(x)
    print("下面是降维之后的鸢尾花数据集特征集：")
    print(pro_data)

    #5、展示聚类效果：
    plt.figure()
    plt.scatter(pro_array[:, 0], pro_array[:, 1], c=thecluster)
    plt.show()

实现效果：

1、降维效果：

降维之前的鸢尾花数据集特征集：

降维之后的鸢尾花数据集特征集：

2、聚类效果：

可以看出来，DBSCAN聚类方法并不能很准确地根据PCA降维后的鸢尾花特征集对鸢尾花样本进行聚类，原因是变色鸢尾与维吉尼亚鸢尾的样本特征较近，两者更类似于同属于一个密度空间，因而导致了该实验的不准确性。

但是，其实也可以看出，山鸢尾与其他两种鸢尾能够进行较好的区别 ，说明该方法仍适用于不同类别样本间差距较大的聚类情形。

写在最后：

本篇文章主要介绍了PCA降维、DBSCAN聚类这两个机器学习操作的基本原理，以及两者结合的用于实际数据处理的方法。

可能基于PCA降维的DBSCAN聚类的方法不是很适用于sklearn库中的鸢尾花数据集，但是该方法既具有处理高维数据的能力，也能够处理各种形状的簇，说明其作为一套较为完整的聚类方法，仍然具有较为广阔的应用场景。

希望大家能够积极应用这个方法，使得其拥有更多的应用可能性。谢谢各位！

参考书籍：

周志华.机器学习[M].北京：清华大学出版社，2016.01

参考文章：

六种常见聚类算法：http://t.csdn.cn/Urhn9

Python PCA(主成分分析法)降维的两种实现：http://t.csdn.cn/NlAeU

DBSCAN聚类算法Python实现：http://t.csdn.cn/lkFhF

PCA降维原理操作步骤与优缺点：http://t.csdn.cn/QiEJM